☛ Inéquation quotient (2)

Enoncé

On considère l'inéquation \(\dfrac{3x-7}{7x-3}>0\).
1.a. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations \(3x-7=0\) et \(7x-3=0\).
    b. La valeur interdite de cette inéquation est-elle \(\dfrac{7}{3}\) ou \(\dfrac{3}{7}\) ? Donner l'ensemble de définition de l'inéquation.
2. Recopier et compléter le tableau suivant.

3. En déduire les solutions de l'inéquation  \(\dfrac{3x-7}{7x-3}>0\).

Solution
On considère l'inéquation \(\dfrac{3x-7}{7x-3}>0\).
1.a.  \(3x-7=0 \Leftrightarrow 3x =7 \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{3}\) et \(7x-3=0 \Leftrightarrow 7x = 3 \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{7}\).
    b. L'inéquation est bien définie si et seulement si \(7x-3\neq 0\) soit \(x\neq \dfrac{3}{7}\) donc la valeur interdite est \(\dfrac{3}{7}\).
L'ensemble de définition de l'inéquation est donc \(]-\infty ; \dfrac{3}{7}[\cup]\dfrac{3}{7};+\infty[ \text{ ou encore }\mathbb{R}\setminus \lbrace\dfrac{3}{7}\rbrace\).
2. 

3. L'ensemble des solutions de l'inéquation \(\dfrac{3x-7}{7x-3}>0\) est \(S=\left]-\infty ; \dfrac{3}{7}\right[\cup \left]\dfrac{7}{3} ; +\infty\right[\).